Question

13．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^{n+2}}-4{\;}^{\;}（{n∈{N^*}}）$，数列{b_n}满足${b_{n+1}}={b_n}+\frac{1}{2}$，b₁=1
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式$k（{n^2}-9n+36）{T_n}＞6{n^2}{a_n}$对于一切的n∈N^*恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和结合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{a_n}的通项公式，再由等差数列的通项公式求{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•b_n，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和，再由$k（{n^2}-9n+36）{T_n}＞6{n^2}{a_n}$，利用分离参数法求得k的取值范围．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=4；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{2}^{n+2}-4）-（{2}^{n+1}-4）$=2ⁿ⁺¹．
n=1时满足上式，
故${a}_{n}={2}^{n+1}$；
由${b_{n+1}}={b_n}+\frac{1}{2}$可知，{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴{b_n}的通项公式为${b}_{n}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$；
（ 2 ）∵c_n=a_n•b_n，
∴${c_n}=（n+1）•{2^n}$，
∴${T_n}=2•{2^1}+3•{2^2}+4•{2^3}+…+（n+1）•{2^n}$，①
$2{T}_{n}=2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}+（n+1）•{2}^{n+1}$，②
①-②得：$-{T_n}=4+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-（n+1）•{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}$．
要使得不等式$k（{n^2}-9n+36）{T_n}＞6{n^2}{a_n}$恒成立，
即$k＞\frac{6n}{{{n^2}-9n+36}}$对一切的n∈N^*恒成立，
∴$k＞\frac{6}{{n+\frac{36}{n}-9}}$．
令$g（n）=\frac{6}{{n+\frac{36}{n}-9}}，h（n）=n+\frac{36}{n}$，
得当n=8时，h（n）取得最小值16，此时g（n）_max=2
∴k＞2为所求．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用分离参数法求解恒成立问题中的参数范围，是中档题．