Question

18．△ABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $2+2\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据C，F，D三点共线可得x，y的关系，再利用基本不等式解出．

解答 解：$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=2x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AC}$，
因为C，F，D三点共线，
所以2x+y=1且x＞0，y＞0，
则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=（{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}}）（2x+y）=4+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}≥4+2\sqrt{\frac{y}{x}\;•\;\frac{4x}{y}}=8$，
当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{2}$时，上式取等号，
故$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$有最小值8，
故选D．

点评 本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，属于基础题．