Question

8．在△ABC中，G点为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b²+c²+bc=a²，且S_△ABC=2$\sqrt{3}$，则|AG|的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 b²+c²+bc=a²，可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A．利用S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}bc$sinA，可得bc．设D为BC的中点．由余弦定理可得：（2AD）²+a²=2（b²+c²），利用基本不等式的性质可得：4AD²=b²+c²-bc≥bc=8，再利用AG=2GD即可得出．

解答 解：b²+c²+bc=a²，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A=$\frac{2π}{3}$．
∵S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}bc$sinA，∴bc=8．①
设D为BC的中点．
由余弦定理可得：（2AD）²+a²=2（b²+c²）②，
∴由①②可得：4AD²=b²+c²-bc≥bc=8，
∴AD的最小值是$\sqrt{2}$，
∵点G为△ABC的重心，AG=2GD．
∴AG的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了三角形重心性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．