Question

13．不等式组$\left\{\begin{array}{l}y-1≥0\\ x-y+2≥0\\ x+4y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω，直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为9．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，结合已知求得a，得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}y-1≥0\\ x-y+2≥0\\ x+4y-8≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+4y-8=0}\end{array}\right.$，解得A（4，1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-1，1）．
∵直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，
∴$\frac{1}{2}（4-a）•（\frac{8-a}{4}-1）=\frac{5}{2}×\frac{1}{5}=\frac{1}{2}$，解得a=2．
∴目标函数z=ax+y=2x+y，化为y=-2x+z，由图可知，
当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．