Question

6．点P为直线y=$\frac{3}{4}$x上任一点，F₁（-5，0），F₂（5，0），则||PF₁|-|PF₂||的取值范围为[0，8.5]．

Answer 1

分析 由题意，P在原点时，||PF₁|-|PF₂||=0，求出F₂（5，0）关于直线y=$\frac{3}{4}$x对称点的坐标，可得||PF₁|-|PF₂||的最大值，即可求出||PF₁|-|PF₂||的取值范围．

解答 解：由题意，P在原点时，||PF₁|-|PF₂||=0，
F₂（5，0）关于直线y=$\frac{3}{4}$x对称点的坐标为F（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a-5}•\frac{3}{4}=-1}\\{\frac{b}{2}=\frac{3}{4}•\frac{a+5}{2}}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{9}{5}$，b=$\frac{51}{10}$，
∴||PF₁|-|PF₂||的最大值为$\sqrt{（\frac{9}{5}+5）^{2}+（\frac{51}{10}）^{2}}$=8.5，
∴||PF₁|-|PF₂||的取值范围为[0，8.5]．
故答案为：[0，8.5]．

点评 本题考查||PF₁|-|PF₂||的取值范围，考查对称性的运用，属于中档题．