Question

1．已知函数f（x）=（2ax²+bx+1）•e^-x（e为自然对数的底数）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，b≥0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）解出b，问题转化为e^x-2ax²-bx-1=0在（0，1）有解，设g（x）=e^x-2ax²-bx-1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）若$a=\frac{1}{2}$，f（x）=（x²+bx+1）•e^-x，则f'（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x，
由f'（x）=0，得x=1或x=1-b，
①若1-b=1，即b=0时，f'（x）≤0，此时函数单调递减，单调递减区间为（-∞，+∞）；
②若1-b＜1，即b＞0时，由f'（x）＞0，得1-b＜x＜1；由f'（x）＜0得x＜1-b，或x＞1，
所以单调递增区间为（1-b，1），单调递减区间为（-∞，1-b），（1，+∞）．
（2）若f（1）=1，∴2a+b+1=e，则b=e-1-2a，
若方程f（x）=1在（0，1）内有解，即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）内有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0在（0，1）有解．
设g（x）=e^x-2ax²-bx-1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x₀是g（x）在（0，1）内的一个零点，
因为g（0）=0，g（1）=0，所以g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能单调，
由g（x）=e^x-4ax-b，设h（x）=e^x-4ax-b，则h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零点，
即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，因为h'（x）=e^x-4a，
当$a≤\frac{1}{4}$时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，不合题意；
当$a≥\frac{e}{4}$时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，不合题意；
当$\frac{1}{4}＜a＜\frac{e}{4}$时，令h'（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，
h（x）在（0，1）上存在最小值h[ln（4a）]．
若h（x）有两个零点，则有h[ln（4a）]＜0，h（0）＞0，h（1）＞0．
所以h[ln（4a）]=6a-4alna+1-e，$\frac{1}{4}＜a＜\frac{e}{4}$，
设$φ（x）=\frac{3}{2}x-xlnx+1-e（1＜x＜e）$，则$φ'（x）=\frac{1}{2}-lnx$，令φ'（x）=0，得$x=\sqrt{e}$，
当$1＜x＜\sqrt{e}$时，φ'（x）＞0，此时函数φ（x）递增；
当$\sqrt{e}＜x＜e$时，φ'（x）＜0，此时函数φ（x）递减，
则$φ{（x）_{max}}=φ（\sqrt{e}）=\sqrt{e}+1-e＜0$，所以h[ln（4a）]＜0恒成立．
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b=-2a+1＞0，所以$\frac{e-2}{2}＜a＜\frac{1}{2}$，
当$\frac{e-2}{2}＜a＜\frac{1}{2}$时，设h（x）的两个零点为x₁，x₂，
则g（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，1）上递增，
则g（x₁）＞g（0）=0，g（x₂）＜g（1）=0，则g（x）在（x₁，x₂）内有零点，
综上，实数a的取值范围是$（\frac{e-2}{2}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．