Question

9．乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A、B，乙被划分为两个不相交的区域C、D．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为$\frac{1}{2}$，在D上的概率为$\frac{1}{3}$；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为$\frac{1}{5}$，在D上的概率为$\frac{3}{5}$．假设共有两次来球且落在A、B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与均值．

Answer 1

分析 （1）记A_i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”，
B_i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”，
D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”；
计算对应的概率值，求出小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率；
（2）由题意随机变量ξ可能的取值为0、1、2、3、4、6，
由事件的独立性和互斥性，计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望Eξ．

解答 解：（1）记A_i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i=0，1，3），
则P（A₃）=$\frac{1}{2}$，P（A₁）=$\frac{1}{3}$，
P（A₀）=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；
记B_i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i=0，1，3），
则P（B₃）=$\frac{1}{5}$，P（B₁）=$\frac{3}{5}$，
P（B₀）=1-$\frac{1}{5}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$；
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，D=A₃B₀+A₁B₀+A₀B₁+A₀B₃，
由事件的独立性和互斥性，
P（D）=P（A₃B₀+A₁B₀+A₀B₁+A₀B₃）
=P（A₃B₀）+P（A₁B₀）+P（A₀B₁）+P（A₀B₃）
=P（A₃）P（B₀）+P（A₁）P（B₀）+P（A₀）P（B₁）+P（A₀）P（B₃）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{10}$，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为$\frac{3}{10}$；
（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为0、1、2、3、4、6，
由事件的独立性和互斥性，得
P（ξ=0）=P（A₀B₀）=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{30}$，
P（ξ=1）=P（A₁B₀+A₀B₁）=P（A₁B₀）+P（A₀B₁）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（A₁B₁）=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=P（A₃B₀+A₀B₃）=P（A₃B₀）+P（A₀B₃）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=P（A₃B₁+A₁B₃）=P（A₃B₁）+P（A₁B₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{11}{30}$，
P（ξ=6）=P（A₃B₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{10}$．
可得随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{1}{10}$

所以，均值Eξ=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{11}{30}$+6×$\frac{1}{10}$=$\frac{91}{30}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了相互独立事件的概率计算问题，是综合题．