Question

19．设函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
 （3）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和辅助角公式得到f（x）=$sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，易求该函数的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）根据正弦函数图象的性质作答；
（3）根据正弦函数图象和函数的定义域解答．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\sqrt{3}•\frac{1+cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，
所以f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
令$2x-\frac{π}{3}=kπ（{k∈Z}）$，得对称中心为$（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0}）（{k∈Z}）$；
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，
解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}（{k∈Z}）$，
所以f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$；
（3）∵$0≤x≤\frac{π}{2}∴-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴函数的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．