Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$ （a＞0，x＞0）．
（1）用定义法证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由增函数的定义直接证明即可得出；
（2）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，可转化为2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a＞0，再判断出函数f（x）=2ax²-x+a在（0，+∞）上的最小值，令其大于等于0，解此不等式即可得出；
（3）由题设，本题可转化为 $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$=x有两个根，即ax²-x+a=0有两个不等根，由此利用判别式得到a的不等式，解之即可．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$≤2x在（0，+∞）上恒成立，
即2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，可得a＞0，
所以其对称轴为x=$\frac{1}{4a}$＞0，
由相应二次函数的性质得x=$\frac{1}{4a}$时，2ax²-x+a≥0成立即可，
∴2a（ $\frac{1}{4a}$）²-$\frac{1}{4a}$+a≥0，解得a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$或a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（舍），
故a的取值范围是a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）由（1），f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-\frac{1}{m}=m}\\{\frac{1}{a}-\frac{1}{n}=n}\end{array}\right.$，即 $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$=x有两个根，即ax²-x+a=0有两个不等根，
∴△=1-4a²＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，又a＞0，
实数a的取值范围为0＜a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数恒成立问题的一般转化方法，函数单调性的证明，二次函数的性质，转化的思想，最值的应用，综合性强．