Question

4．在极坐标系中，△OAB的三边所在直线方程分别为$OA：θ=0，OB：θ=\frac{π}{2}，AB：ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，P为△OAB外接圆C上任一点，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度建立直角坐标系．
（1）在直角坐标系中，求点A、B的坐标和圆C的参数方程；
（2）求|PO|²+|PA|²+|PB|²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直线OA：y=0．OB：x=0．直线AB：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐标方程．可得A$（2\sqrt{3}，0）$，B（0，2）．利用中点坐标公式可得可得圆心M$（\sqrt{3}，1）$．，利用两点之间的距离公式可得半径r=2．
可得外接圆的直角坐标方程，利用平方关系可得参数方程．
（2）设P$（\sqrt{3}+2cosθ，1+2sinθ）$．利用两点之间的距离公式可得：|PO|²+|PA|²+|PB|²=24+8$sin（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：（1）直线OA：y=0．OB：x=0．直线AB：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化为：x+$\sqrt{3}y$-2$\sqrt{3}$=0．
∴A$（2\sqrt{3}，0）$，B（0，2）．
可得圆心M$（\sqrt{3}，1）$．，半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=2．
∴外接圆的直角坐标方程为：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y-1）²=4，
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设P$（\sqrt{3}+2cosθ，1+2sinθ）$．
|PO|²+|PA|²+|PB|²=$（\sqrt{3}+2cosθ）^{2}$+（1+2sinθ）²+$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}$+（1+2sinθ）²+$（\sqrt{3}+2cosθ）^{2}$+（2sinθ-1）²
=24+8$sin（θ+\frac{π}{3}）$∈[16，32]．
∴其最大值和最小值分别为32，16．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式、三角函数求值、和差公式、圆的标准方程与参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．