Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面
ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=

3

，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=

3

2

，
即棱锥D-PBC的高为

3

2

．