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如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求二面角A-BC-P的大小.
(1)证明:
∵△PAD为正三角形,G为AD边的中点,∴PG⊥AD,
∵平面PAD垂直于底面ABCD,∴PG⊥底面ABCD,∴PG⊥BG
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=a
BG2=a2+
1
4
a2-2a•
1
2
a•cos60°=
3
4
a2

∴△ABG为直角三角形,
且BG⊥AG,PG∩AD=G,∴BG⊥平面PAD
(2)由(1)知PG⊥底面ABCD,BG⊥AD,ADBC,
∴BG⊥BC,PB⊥BC,
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角,
PG=
3
2
a,BG=
3
2
a
,∴tan∠PBG=1,∴∠PBG=
π
4
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2
3
的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证DO面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB、PB的中点.
(1)求证:DE平面PAC;
(2)求证:AB⊥PB.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)若AP=2AB,求证:BE⊥CD.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知如图所示,PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且直线a?α,a⊥PO.求证:a⊥AO.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,ABCD,AB=AD=1,CD=2,DE=4,M为CE的中点.
(Ⅰ)求证:BM平面ADEF:
(Ⅱ)求证:BC⊥平面BDE;
(Ⅲ)求三棱锥C-MBD的体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图(1)在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2、G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G1,G2,G3三点重合于G,下面结论成立的是(  )
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面
ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD
(Ⅱ)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,点M是棱PC的中点,PA⊥平面ABCD,AC、BD交于点O.
(1)已知:PA=
2
,求证:AM⊥平面PBD;
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于
21
7
,求PA的长.

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