Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为常数）在x=ln2处取得极值．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当x＞0时，e^x＞x²+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的f′（x）=e^x-a．通过f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1-ln4．构造g（x）=e^x-x²-1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（ln2）=2-a=-0，所以a=2，
所以f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
所以函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．…（4分）
（2）证明：由（1）知f（x）min=f（ln2）=eln2-2ln2-1=1-ln4．
所以f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0．
令g（x）=e^x-x²-1，则g'（x）=e^x-2x＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，即e^x＞x²+1．…（8分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．