Question

1．已知函数f（x）=aln$\frac{1}{x}$+x（a≠0）．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）在区间[1，e]上是否存在在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，若存在求出实数a的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由导数的正负可得函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数大于0解出x的范围，然后对a分三种情况讨论，利用f（x）在[1，e]上的最小值，进行判断即可．

解答 解：（1）由题意知x＞0，f（x）=aln$\frac{1}{x}$+x=-alnx+x，
若a=1，则f（x）=-lnx+x，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，即函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，即函数f（x）的单调减区间是（0，1）．
则当x=1时，函数f（x）有极小值为f（1）=1-ln1=1．
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，即函数在（0，+∞）上为增函数，即
f（x）在区间[1，e]上是增函数，
则函数的最小值为f（1）=1＞0，此时在区间[1，e]上不存在在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立．
若a＞0，
由f′（x）＞0得x＞a，此时函数单调递增，即函数f（x）的单调增区间是（a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜a，此时函数单调递减，即函数f（x）的单调减区间是（0，a）．
即当x=a时，函数取得最小值f（a）=a-alna=a（1-lna）．
①若0＜a＜1时，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（1）=-aln 1+1=1＞0，故不满足条件．
②若1≤a≤e时，函数f（x）在[1，a）上为减函数，在[a，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（a）=a-aln a=a（1-ln a），
∵1≤a≤e，∴0≤lna≤1，即0≤1-lna≤1，
则f（a）=a-aln a=a（1-ln a）≥0，故不满足条件．
③若a＞e，函数f（x）在[1，e]上为减函数，
故函数f（x）的最小值为f（e）=e-aln e=e-1＞0．故不满足条件．
综上所述，这样的a不存在．

点评 本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对a的范围正确分段，此题是有一定难度题目．