Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点坐标为别为，，离心率是． 椭圆的左、右顶点分别记为，．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）求线段长度的最小值．

（Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上的点满足：的面积为．试确定点的个数．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）2

【解析】分析：（1）先根据焦点坐标得，再根据离心率得a，解得b,（2）设直线的方程为，解得S，得直线的方程，与直线联立解得M,N坐标，即得，最后根据基本不等式求最值，（3）当线段的长度最小时，求出S，由的面积得点到直线的距离等于，与点T在椭圆上，联立方程组，根据解的个数确定点的个数．

详解：解：（Ⅰ）∵，且，

∴，，

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）易知椭圆的左、右顶点坐标为，，直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而．

由得．

设，则，得，

从而，即．

又，故直线的方程为，

由得，

∴，故，

当且仅当，即时等号成立．

故当时，线段的长度取最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当线段的长度最小值时，，

此时的方程为，，

∴，

要使的面积为，只需点到直线的距离等于，

所以点在平行于且与距离等于的直线上．

设，则由，解得或．

①当时，由得，

∵，故直线与椭圆有两个不同交点．

②当时，由得，

∵，故直线与椭圆没有交点．

综上所述，点的个数为．