【题目】 如图,是等腰直角三角形,
,
,
分别为
的中点,沿
将
折起,得到如图所示的四棱锥
(1)求证:平面
;
(2)当四棱锥体积取最大值时,
(i) 写出最大体积;
(ii) 求与平面
所成角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)(i)最大体积为
;(ii)
.
【解析】
(1)由翻折前后的不变性,得,
,且
,可证得
;
(2)(i)当面底面
时,四棱锥
的体积达到最大;
(ii)当四棱锥体积取最大值时,可得
平面ABFE.,以
所在直线为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面
的一个法向量和
,再求两个向量夹角的余弦值,进而得到线面角的正弦值。
证明:(1)因为是等腰直角三角形,
,
分别为
的中点,
所以,
,又因为
,
所以,因为
,
所以.
(2)(i) 当面底面
时,四棱锥
的体积达到最大,
则.
(ii) 因为四棱锥体积取最大值,所以
平面ABFE.
分别以所在直线为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,由
得,
取,得
.则
,
所以,所以
与平面
所成角的正弦值为
,
所以与平面
所成角的大小为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为:
(
为参数),在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
交于
,
两点,点
的坐标为
,求
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
为
的中点..
(1)求证:平面平面
;
(2),在线段
上是否存在一点
,使得二面角
的余弦值为
.请说明理由.
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【题目】若定义在R上函数的图象关于图象上点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有
且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间
上的零点个数最少有( )
A.2020个B.1768个C.1515个D.1514个
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【题目】已知椭圆的左、右焦点坐标为别为
,
,离心率是
. 椭圆
的左、右顶点分别记为
,
.点
是椭圆
上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)求线段长度的最小值.
(Ⅲ)当线段的长度最小时,在椭圆
上的点
满足:
的面积为
.试确定点
的个数.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,过
的直线交
轴正半轴于点
,交抛物线于
两点,其中点
在第一象限.
(Ⅰ)求证:以线段为直径的圆与
轴相切;
(Ⅱ)若,
,
,求
的取值范围.
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