Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由O，F，P，A四点共圆得$∠APF=\frac{π}{2}$，即AC⊥BP，∴${k_{AC}}•{k_{BP}}=-\frac{b}{a}•\frac{b}{c}=-1$，b²=ac，e²+e-1=0

解答 解：如图所示，∵O，F，P，A四点共圆，$∠AOF=\frac{π}{2}$，∴$∠APF=\frac{π}{2}$，
即AC⊥BP，∴${k_{AC}}•{k_{BP}}=-\frac{b}{a}•\frac{b}{c}=-1$，
∴b²=ac，a²-c²=ac，∴e²+e-1=0，$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了椭圆的离心率，运用平面几何知识及椭圆定义是解题关键，属于基础题．