Question

已知f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求f（0）的值．
（2）求函数f（x）的最小正周期．
（3）求函数f（x）的单调递减区间．
（4）求函数f（x）的最大值、最小值及取最大值、最小值时自变量x的集合．

Answer 1

分析：（1）将x=0代入解析式中计算即可求出f（0）的值；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（3）根据正弦函数的递减区间，即可求出函数的递减区间；
（4）根据正弦函数的最大值与最小值，确定出f（x）的最大值与最小值，以及此时x的集合即可．

解答：解：（1）将x=0代入得：f（0）=

1

2

；
（2）f（x）=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（3）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得到

π

6

+kπ≤x≤

4π

3

+kπ，k∈Z，
则f（x）的递减区间为[

π

6

+kπ，

4π

3

+kπ]，k∈Z；
（4）∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+1≤2，即0≤f（x）≤2，
令2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，得到x=-

π

3

+kπ，k∈Z；令2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，得到x=

π

6

+kπ，k∈Z，
则f（x）最小值为0，此时x集合为{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}；f（x）最大值为2，此时x的集合为{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．