Question

2．棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下结论：
①AB₁⊥CD₁；
②四面体B₁D₁CA的体积为$\frac{1}{3}$；
③（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²．
其中结论正确的为①②③．（写出所有正确的结论的序号）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用异面直线所成角的概念判断①；求出四面体B₁D₁CA的体积判断②；通过计算说明③正确．

解答 解：如图，

连接A₁B，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁B∥CD₁，且A₁B⊥AB₁，
则AB₁⊥CD₁，故①正确；
${V}_{{B}_{1}{D}_{1}CA}={V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}-4{V}_{{B}_{1}-ABC}$=$1-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$，故②正确；
连接BD交AC于O，连接D₁O，则D₁O⊥AC，则$O{D}_{1}=\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=$3×（\frac{1}{2}×1×1）^{2}=\frac{3}{4}$，
（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²=$（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}=\frac{3}{4}$，
∴（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，是中档题．