Question

13．设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}$．且数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求证：{b_n}是等比数列；
（2）若S_n＜T_n恒成立，求等比数列{a_n}公比q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可设数列{a_n}首项a₁＞0，公比q＞0，求出b_n，由等比数列的定义证明{b_n}是等比数列；
（2）分析q=1时与已知矛盾；当q≠1时，由S_n＜T_n即可求得等比数列{a_n}公比q的取值范围．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}是正项等比数列，则首项a₁＞0，公比q＞0，
${b}_{n}=\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}=\frac{（{a}_{1}{q}^{n}）^{2}}{{a}_{1}{q}^{n-1}}={a}_{1}{q}^{n+1}$，
$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{a}_{1}{q}^{n+2}}{{a}_{1}{q}^{n+1}}=q$，为定值，
∴{b_n}是等比数列；
解：（2）若q=1，则a_n=a₁，b_n=a₁，S_n=T_n，与已知矛盾，∴q≠1；
由S_n＜T_n，得$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}＜1$，
即$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}{q}^{2}（1-{q}^{n}）}{1-q}}＜1$，得q²＞1，
即q＜-1（舍）或q＞1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了不等式的解法，是中档题．