Question

【题目】已知椭圆（）的离心率为，左顶点B与右焦点之间的距离为3．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线交轴于点，过且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别与直线交于两点. 若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根据椭圆的离心率和左顶点到右焦点的距离列方程组，求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆的标准方程.（II）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去并化简，写出韦达定理.根据由三点共线以及由三点共线求得两点的纵坐标，根据题意得到，将已知条件代入，化简后可求得的值，求得的坐标.

（Ⅰ）由题意可知 且，

解得，.

所以.

所以椭圆的方程是 ．

（Ⅱ）设的坐标分别为，，

直线的方程为.

将直线方程与椭圆方程联立，得

.

所以 ①，②.

设两点的坐标分别为，

由三点共线，得：，从而；

由三点共线，得 ，从而；

因为，所以.

所以 ，即 ，

整理得.

又 ，

所以（*）.

将①， ②代入（*），整理得

.

解之，得或（舍）.

所以点的坐标为.