Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足$\frac{1}{{k}_{OP}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l₁，l₂，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．

Answer 1

分析 （1）设出P点坐标，求出OP、OQ、PQ的斜率，代入$\frac{1}{{k}_{OP}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，整理可得点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得E的坐标，同理求出F的坐标，进一步求出EF所在直线方程，由线系方程证明直线EF恒过一定点．

解答 （1）解：设点P的坐标为P（x，y），则${k_{OP}}=\frac{y}{x}$，k_OQ=2，${k_{PQ}}=\frac{y-2}{x-1}$，
由$\frac{1}{{k}_{OP}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$．
整理得点P的轨迹的方程为：y²=4x（y≠0，y≠2）；
（2）证明：设点A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点E的坐标为$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}}）$．
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（{x-1}）}\end{array}}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
∵直线l₁与抛物线交于A，B两点，
∴${x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}$，${y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}-2}）=\frac{4}{k}$，
∴点E的坐标为$（{1+\frac{2}{k^2}，\frac{2}{k}}）$．
由题知，直线l₂的斜率为$-\frac{1}{k}$，同理可得F的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有$1+\frac{2}{k^2}≠1+2{k^2}$．
此时直线EF的斜率为：${k_{EF}}=\frac{{\frac{2}{k}+2k}}{{1+\frac{2}{k^2}-1-2{k^2}}}=\frac{k}{{1-{k^2}}}$，
∴直线EF的方程为$y+2k=\frac{k}{{1-{k^2}}}（{x-1-2{k^2}}）$，整理得$y=\frac{k}{{1-{k^2}}}（{x-3}）$．
于是直线EF恒过定点（3，0），
当k=±1时，直线EF的方程为x=3，也过点（3，0）．
综上所述，直线EF恒过定点（3，0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与抛物线位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．