Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），点B是圆（x+1）²+y²=4上的动点，则线段AB的中点M的轨迹方程是（　　）

• A． ${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=1$
• B． ${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=4$
• C． （x-3）²+（y-3）²=1
• D． （x-3）²+（y-3）²=2

Answer 1

分析 设出M（x，y），B（x₁，y₁）的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，代入已知圆的方程得答案．

解答 解：设M（x，y），B（x₁，y₁），
又A（4，3），且M为AB的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+4=2x}\\{{y}_{1}+3=2y}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-4}\\{{y}_{1}=2y-3}\end{array}\right.$，
∵点B在圆（x+1）²+y²=4上，
∴$（{x}_{1}+1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4$，即（2x-3）²+（2y-3）²=4．
∴线段AB的中点M的轨迹方程是$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}=1$．
故选：A．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了利用代入法求动点的轨迹，是中档题．