Question

已知圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）当α=135°时，求AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）根据P为弦AB的中点，得出OP垂直于AB，根据直线OP的斜率求出直线AB的斜率，即可确定出直线AB的方程．
（2）根据题意求出直线AB的斜率，表示出AB的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，再由半径r，利用垂径定理及勾股定理求出弦|AB|的长即可．

解答： 解：∵P是AB中点，∴OP⊥AB．
又k_OP=-2，∴k_AB=

1

2

，则直线AB的方程为y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．
（2））∵k_AB=tan135°=-1，
∴直线AB的方程为：y-2=-（x+1），即x+y-1=0，
又r=2

2

，圆心到直线的距离d=

1

2

=

2

2

，
∴弦|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的斜率与倾斜角之间的关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．