Question

11．在直角坐标系中，圆C₁：x²+y²=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$
（1）求曲线C₂的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（2）在C₂上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圆C₁：x²+y²=1，化简可得曲线C₂的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程；
（2）将直线x+2y-10=0平移与C₂相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圆C₁：x²+y²=1得：$\frac{{x}^{′2}}{9}+\frac{{y}^{′2}}{4}=1$，
故曲线C₂的直角坐标方程为 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
即ρcosθ+2ρsinθ=10，即x+2y-10=0，
（2）将直线x+2y-10=0平移与C₂相切时，则第一象限内的切点M满足条件，
设过M的直线为x+2y+C=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+C=0\\ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$得：$\frac{25}{4}$x²+$\frac{9}{2}$Cx+$\frac{9}{4}$C²-36=0，
由△=（$\frac{9}{2}$C）²-4×$\frac{25}{4}$×（$\frac{9}{4}$C²-36）=0得：C=±$\frac{5}{2}$，
故x=$\frac{9}{5}$，或x=-$\frac{9}{5}$，（舍去），
则y=$\frac{8}{5}$，
即M点的坐标为（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$），
则点M到直线l的距离d=$\frac{|\frac{9}{5}+2×\frac{8}{5}-10|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$

点评 本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．