Question

17．已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0
（Ⅰ）当方程C表示圆时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若圆C与直线l₁：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若圆C上存在四点到直线l₂：x-2y+b=0的距离均为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．当5-m＞0表示圆，解出即可．
（2）利用点到直线的距离可得：圆心（1，2）到直线l的距离d，利用（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²=5-m，即可解得m．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，假设存在直线l：x-2y+b=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，必须$\frac{|b-3|}{\sqrt{5}}$＜|$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m
当5-m＞0即m＜5时，方程C表示圆；
（2）圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|1+4+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵弦长|MN|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²=5-m，解得m=3．
故m=3．
（3）圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，
假设存在直线l：x-2y+b=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
必须$\frac{|b-3|}{\sqrt{5}}$＜|$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|，解得4-$\sqrt{10}$＜b＜2+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长公式、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．