Question

9．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．
（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；
（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）²=x²+y²，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
（2）求得∴∠DCQ+∠BCP=$\frac{π}{4}$，即可判断∠PCQ的大小；
（3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．

解答 解：（1）由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）²=x²+y²，…（2分）
化简得：y=$\frac{2x-2}{x-2}$（0＜x＜1）…（3分）
（2）tan∠DCQ=1-y，tan∠BCP=1-x，…（5分）
tan（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{2-x-y}{x+y-xy}$=1   …（7分）
∵∠DCQ+∠BCP∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴∠DCQ+∠BCP=$\frac{π}{4}$，
∴∠PCQ=$\frac{π}{2}$-（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{π}{4}$，（定值） …（8分）
（3）S=1-$\frac{1}{2}xy$-$\frac{1}{2}$（1-x）-$\frac{1}{2}$（1-y）=$\frac{1}{2}$（x+y-xy）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2-x}$ …（10分）
令t=2-x，t∈（1，2），
∴S=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{2}{t}$）-1，
∴t=$\sqrt{2}$时，S的最小值为$\sqrt{2}$-1．   …（12分）

点评 本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．