Question

1．若不等式$\frac{{x}^{2}-8x+20}{m{x}^{2}+2（m+1）x+9m+4}$＞0对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，对任意实数x恒成立，对m讨论，当m=0，m＞0，判别式小于0，m＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，
可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，对任意实数x恒成立，
当m=0时，2x+4＞0，解得x＞-2，不恒成立；
当m＞0，判别式4（m+1）²-4m（4+9m）＜0，
解得m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{2}$，即有m＞$\frac{1}{4}$成立；
当m＜0时，不恒成立．
综上可得m的范围是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和二次不等式的解法，考查二次函数的图象和性质，属于中档题．