Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₉=90，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足：${b_n}={a_{3^n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式和求和公式；
（2）求得${b_n}={a_{3^n}}$=2•3ⁿ，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
由已知可得9a₁+36d=90，15a₁+105d=240，
解得a₁=d=2，
即有a_n=2n，S_n=n（n+1）；
（2）${b_n}={a_{3^n}}$=2•3ⁿ，
由$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=3，
可得{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列，
则T_n=$\frac{4（1-{3}^{n}）}{1-3}$=2（3ⁿ-1）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．