Question

16．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；
（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{3-m＞0}\\{3-m＞m+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{m＜3}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
即-1＜m＜1，
∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（-1，1）；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q为一个真命题，一个假命题，
若关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，
则判别式△=4m²-4（2m+3）＜0，
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜1}\\{m≥3或m≤-1}\end{array}\right.$，此时无解，
柔p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥1或m≤-1}\\{-1＜m＜3}\end{array}\right.$，得1≤m＜3，
综上，实数m的取值范围是[1，3）．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．