Question

4．已知函数f（x）=ln（1+x）．
（1）若函数g（x）=f（e^4x）+ax，且g（x）是偶函数，求a的值；
（2）若h（x）=f（x）[f （x）+2m-1]在区间[e-1，e³-1]上有最小值-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出g（x）=ln（1+e^4x）+ax，由g（x）为偶函数，便可得到ln（1+e^-4）-a=ln（1+e⁴）+a，这样便可求出a的值；
（2）可设f（x）=t，可得到t∈[1，3]，设y=h（x），从而有$y={t}^{2}+（2m-1）t=[t-（\frac{1}{2}-m）]^{2}$$-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}$，可讨论$\frac{1}{2}-m$和区间[1，3]的关系：分$\frac{1}{2}-m≤1，1＜\frac{1}{2}-m＜3$和$\frac{1}{2}-m≥3$三种情况，在每种情况里，根据y的最小值为-4便可建立关于m的方程，解方程即得m的值．

解答 解：（1）g（x）=f（e^4x）+ax=ln（1+e^4x）+ax，g（x）为偶函数；
∴g（-1）=g（1）；
即ln（1+e^-4）-a=ln（1+e⁴）+a；
∴ln（1+e⁴）-lne⁴-a=ln（1+e⁴）+a；
∴-4-a=a；
∴a=-2；
（2）令f（x）=t，x∈[e-1，e³-1]，∴t∈[1，3]；
设y=h（x），则y=${t}^{2}+（2m-1）t=[t-（\frac{1}{2}-m）]^{2}-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}$；
①若$\frac{1}{2}-m≤1$，即$m≥-\frac{1}{2}$时，当t=1时，y_min=2m=-4；
∴m=-2与$m≥-\frac{1}{2}$不符；
②若$1＜\frac{1}{2}-m＜3$，即$-\frac{5}{2}＜m＜-\frac{1}{2}$时，当$t=\frac{1}{2}-m$时，${y}_{min}=-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}=-4$；
解得m=$-\frac{3}{2}$，或$\frac{5}{2}$（舍去）；
③若$\frac{1}{2}-m≥3$，即$m≤-\frac{5}{2}$时，当t=3时，
y_min=6m+6=-4；
∴$m=-\frac{5}{3}$，与$m≤-\frac{5}{2}$不符；
综上得，m的值为$-\frac{3}{2}$．

点评 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，偶函数的定义，换元法的应用，配方求二次函数最值的方法，根据二次函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值．