Question

15．已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（Ⅰ） 指出函数f（x）的定义域并求$f（{-\frac{1}{3}}），f（{-\frac{1}{2}}），f（{\frac{1}{2}}），f（{\frac{1}{3}}）$的值；
（Ⅱ） 观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的一个性质，并证明你的猜想；
（Ⅲ） 解不等式：f（1+x）+ln3＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由真数大于0，可得定义域；代入计算可得函数值；
（Ⅱ）可得性质一、函数f（x）为奇函数，运用奇函数的定义即可得到；
性质二、函数f（x）在定义域上单调递减，运用单调性的定义，即可得证；
（Ⅲ）解法一、运用单调性，可得$\left\{\begin{array}{l}-1＜1+x＜1\\ 1+x＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解不等式组即可得到解集；
解法二、求出f（1+x），由对数的运算性质，解不等式即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由1-x＞0，1+x＞0，可得-1＜x＜1，
可得函数的定义域为（-1，1）；
$f（{-\frac{1}{3}}）=ln2$，$f（{-\frac{1}{2}}）=ln3$，$f（{\frac{1}{2}}）=-ln3$，$f（{\frac{1}{3}}）=-ln2$．
（Ⅱ）性质一：由于$f（{-\frac{1}{3}}）=-f（{\frac{1}{3}}）$，$f（{-\frac{1}{2}}）=-f（{\frac{1}{2}}）$，
猜想函数f（x）为奇函数，
证明：设任意x∈（-1，1），f（-x）=ln（1+x）-ln（1-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．…（7分）
性质二：由于$f（{-\frac{1}{3}}）＞f（{-\frac{1}{2}}）＞f（{\frac{1}{2}}）＞f（{\frac{1}{3}}）$，
函数f（x）在定义域上单调递减，
证明：设任意x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=ln（{1-{x_1}}）-ln（{1+{x_1}}）-ln（{1-{x_2}}）+ln（{1+{x_2}}）=ln（{\frac{{1-{x_1}}}{{1-{x_2}}}×\frac{{1+{x_2}}}{{1+{x_1}}}}）$，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁，
则$\frac{{1-{x_1}}}{{1-{x_2}}}×\frac{{1+{x_2}}}{{1+{x_1}}}＞1$，$ln（{\frac{{1-{x_1}}}{{1-{x_2}}}×\frac{{1+{x_2}}}{{1+{x_1}}}}）＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
函数f（x）在定义域上单调递减．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）可知，$f（{-\frac{1}{2}}）=ln3$，则$f（{1+x}）＞-f（{-\frac{1}{2}}）$，
又f（x）为奇函数，则$f（{1+x}）＞f（{\frac{1}{2}}）$，又函数f（x）在定义域上单调递减，
故原不等式可化为：$\left\{\begin{array}{l}-1＜1+x＜1\\ 1+x＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得$-2＜x＜-\frac{1}{2}$，即原不等式的解集为$（{-2，-\frac{1}{2}}）$．
解法二：因为-1＜x+1＜1，所以-2＜x＜0，
所以f（1+x）=ln（-x）-ln（x+2），
原不等式可化为：ln（-x）-ln（x+2）+ln3＞0，
即ln（-3x）＞ln（x+2），所以-3x＞x+2，解得$x＜-\frac{1}{2}$，
又-2＜x＜0，所以$-2＜x＜-\frac{1}{2}$，即原不等式的解集为$（{-2，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查函数的定义域的求法和奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性，属于中档题．