Question

【题目】已知函数.

（1）求函数图象经过的定点坐标；

（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，则，即可求得顶点坐标；（2）当时，，对求导，分别求出与，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数单调区间；（3）对函数求导，讨论和时，函数的单调性，进而求出，即可求出实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，

∴，

∴函数的图象无论为何值都经过定点.

（2）当时，.

，，，

则切线方程为，即.

在时，如果，

即时，函数单调递增；

如果，

即时，函数单调递减.

（3），.

当时，，在上单调递增.

，不恒成立.

当时，设，.

∵的对称轴为，，

∴在上单调递增，且存在唯一，

使得.

∴当时，，即，在上单调递减；

∴当时，，即，在上单调递增.

∴在上的最大值.

∴，得，

解得.