Question

（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, AC∩BD=O, AA1=2, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC=60°, 点M是棱AA1的中点.

（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD;

（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）欲证线面平行，通常从线线平行入手，M是中点，加之是菱形，O也为AC中点，所以MO为的中位线，问题得于解决；（Ⅱ）根据已知边角关系易证为直角三角形，即，又根据菱形性质，给合已知，可得，即，所以自然可得；（Ⅲ）本题要解决三棱锥的体积，核心是解决高的问题，据题意，过M点作的平行线使交AC于N，则MN即为三棱锥的高，又M是的中点，所以，结合已知可得所求.

试题解析：（Ⅰ）如图，联结，则由是棱形知为中点，又是的中点，

为的中位线，故，

而，所以；

（Ⅱ）是菱形，其对角线互相垂直平分且平分对角，

又， ，

在中，（角所对直角边等于斜边的一半），则，

中，，,则

由余弦定理得

，故由勾股定理知，即，

又由

，，

由；

（Ⅲ）如图，过点作交于，则为三棱锥的高且，

又，

.

考点：①线面平行的判定；②线面垂直的判定；③勾股定理和余弦定理；④等积法.