Question

【题目】如图，在正四棱柱，中，．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若是线段上（不含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）连接，为异面直线与所成角，在中利用余弦定理求异面直线所成角的大小；

（2）本小题是开放题，第一种：提出问题，证明三棱锥的体积为定值，

第二种：提出问题：三棱锥的体积在点从点移动到过程中单调递增，并证明.

（1）如图，连接，由，且，

知四边形是平行四边形，则

所以为异面直线与所成角，

在中，，，

则,

，

（2）提出问题1：证明三棱锥的体积为定值.

回答问题：如图，平面，

上任一点到平面的距离相等，点到平面的距离是，

因此三棱锥.

所以三棱锥的体积为定值.

说明：若是在侧面上任取三个顶点，与点构成三棱锥时，结论类似；

提出问题2：三棱锥的体积在点从点移动到过程中单调递增，并且求的范围.

问题解答：因为

是定值8，且,

即三棱锥的体积在点从点移动到过程中单调递增，并且