Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：MN∥面PAD；
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，需要设法在平面PAD内找到与MN平行的直线，因为给出的M，N分别是DC和PB的中点，所以联想到找PA的中点E，然后利用三角形的中位线知识结合底面是正方形证出DE∥MN，则问题得到证明；
（2）求二面角N-AM-B的余弦值，可采用找二面角的平面角的办法，因为易证平面PAB⊥平面ABCD，所以可以直接过N作AB的垂线垂足为G，则该垂线垂直于底面，然后过垂足G作AM的垂线GF，连接NF，则二面角的平面角找出，然后利用题目给出的条件，通过解直角三角形进行求解即可．

解答：（1）证明：如图，
取PA的中点E，连接DE，EN，
∵点N是PB的中点，∴EN∥AB，EN=

1

2

AB．
∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，
∴DM∥AB，DM=

1

2

AB．
∴EN∥DM，EN=DM．
∴四边形EDMN是平行四边形．
∴MN∥DE．
∵DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥面PAD；
（2）解：取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，
∴NG⊥面ABCD．
∵AM?面ABCD，
∴NG⊥AM．
过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，
∵NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴AM⊥面NGF．
∵NF?面NGF，
∴AM⊥NF．
∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=

MN2-MG2

=

52-32

=4，
在Rt△MGA中，AG=

3

2

，得AM=

MG2+AG2

=

32+( 3 2 )2

=

3 5

2

，
GF=

AG•MG

AM

=

3 2 ×3

3 5 2

=

3 5

5

．
在Rt△NGF中，NF=

NG2+GF2

=

42+( 3 5 5 )2

=

445

5

，
∴cos∠NFG=

GF

NF

=

3 5 5

445 5

=

3 89

89

．
∴二面角N-AM-B的余弦值为

3 89

89

．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．