Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若不等式 对于任意成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析： 求出函数的定义域和导数，然后讨论当时，当时确定的单调性问题等价于对任意，有成立，设， ，根据函数的单调性求出的最大值，解关于的不等式，解出即可

解析：（1）函数的定义域为.

.

若，则

当或时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减.

若，则

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.

（2）原题等价于对任意，有成立.

设， ，所以.

.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

为与中的较大者.

设 ，

则 ，

所以在上单调递增，故，所以，

从而.

所以即.

设，则.

所以在上单调递增.

又，所以的解为.

因为，所以正实数的取值范围为.