Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆过点（0，1）且离心率e=

3

2

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）A、B是椭圆上两点，且关于x轴对称，E是椭圆上不同于A、B的一点，且直线BE、AE分别交x轴于点P、Q，求证|OQ|•|OP|是定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆过点（0，1）且离心率e=

3

2

，可得b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）设A（s，t），则B（s，-t）．可得s²+4t²=4．设E（m，n），则m²+4n²=4．直线AE的方程为：y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，可得Q(

mt-ns

t-n

，0)．
BE：y-n=

n+t

m-s

(x-m)，令y=0，可得P(

mt+sn

n+t

，0)．即可证明|OQ|•|OP|是定值．

解答： （1）解：∵椭圆过点（0，1）且离心率e=

3

2

，
∴b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，c=

3

．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设A（s，t），则B（s，-t）．则s²+4t²=4．
设E（m，n），则m²+4n²=4．
直线AE的方程为：y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，可得x=

mt-ns

t-n

，即Q(

mt-ns

t-n

，0)．
BE：y-n=

n+t

m-s

(x-m)，令y=0，可得x=

mt+sn

n+t

，即P(

mt+sn

n+t

，0)．
∴|OQ|•|OP|=

m2t2-s2n2

t2-n2

=

(4-4n2)t2-(4-4t2)n2

t2-n2

=

4(t2-n2)

t2-n2

=4为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．