【题目】已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4。
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)设,过点斜率为的直线交轨迹于两点, 的延长线交轨迹于两点。
①若的面积为3,求的值。
②记直线的斜率为,证明: 为定值,并求出这个定值。
【答案】(1) ;(2) ①2. ②2.
【解析】试题分析:(1)设圆心,过点作轴,垂足为,则,根据,根据两点之间的距离公式化简即可,需验证,即可得出圆心的轨迹的方程;(2)设直线的方程为, ,联立直线与曲线的方程,结合韦达定理得出, ;①表示出,化简即可解出;②设,表示出, ,根据共线,即可求出与的关系,同理可得的坐标,从而表示出,即可得到为定值.
试题解析:(1)设圆心,过点作轴,垂足为,则.
∴
∴,化简为:.
当时,也满足上式.
∴动圆圆心的轨迹的方程为。
(2)设直线的方程为, ,
由,得,
, .
①,解得.
②设,则, .
∵共线
∴,即,解得: (舍)或.
∴,同理,
∴
∴(定值)
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【题目】给出下列四个命题:
①函数y=2sin的图象的一条对称轴是x=;
②函数y=tanx的图象关于点对称;
③若sin=sin,则x1-x2=kπ,其中k∈Z;
④函数,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(1,3).
其中正确的有____(填写所有正确命题的序号).
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2019年连续六个月(5-10)月)的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示.
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码之间的关系,求关于的线性回归方程,并据此预测该公司2020年5月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同,现对两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计表(表).若从产品使用寿命的角度考虑,甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好?
使用寿命 | 1个月 | 2个月 | 3个月 | 4个月 | 总计 |
材料类型 | |||||
20 | 35 | 35 | 10 | 100 | |
10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
参考数据:,.
参考公式:回归直线方程,其中,.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
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