Question

15．设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若关于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]（e为自然对数的底数） 上有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-x²-1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的 最小值．

Answer 1

分析 （1）求导，根据函数单调性求得函数f（x）的最大值，由f（x）_max≥m，即可求得m的取值范围；
（2）求得g（x）的导函数g′（x），求得函数的单调性与最值，从而求得p的最小值．

解答 解：（1）∵$f'（x）=2（{1+x}）-\frac{2}{x+1}$，且当x≥0时，$1+x≥\frac{1}{x+1}$，
∵$f'（x）=2（{1+x}）-\frac{2}{x+1}$在[0，e-1]上有f'（x）≥0，
f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）在[0，e-1]上单调递增，
得$f{（x）_{max}}=f（{e-1}）={e^2}-2$，
因为关于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]（e为自然对数的底数） 上有实数解，
∴f（x）_max≥m，即m≤e²-2，
所以实数m的取值范围是（-∞，e²-2]．
（2）∵g（x）=f（x）-x²-1=2x-2ln（1+x），
∴$g'（x）=2（{1-\frac{1}{x+1}}）$，
∵$g'（x）=2（{1-\frac{1}{x+1}}）$，在（-1，0）上g'（x）＜0，在（0，+∞），g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∵x的方程g（x）=p至少有一个解，
∴p≥0，p最小值为0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数恒成立问题，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．