Question

2．过抛物线y²=8x的焦点作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A、B两点．求：
（1）被抛物线截得的弦长|AB|；
（2）线段AB的中点到直线x+2=0的距离．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率k=1，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x₁+x₂=12，x₁x₂=4，由弦长公式可知|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$；
（2）由中点坐标公式求得线段AB的中点坐标，由抛物线的定义，即可求得中点到直线x+2=0的距离．

解答 解：（1）抛物线y²=8x，焦点为（2，0），x=-2，
∴直线l方程为y=x-2，
直线AB即为x+y-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$：整理得：x²-12x+4=0
由韦达定理可知：x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1{2}^{2}-4×4}$=16，
被抛物线截得的弦长|AB|=16；
中点（x，y）满足：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=6，y=6-2=4，
∴：AB的中点为（6，4），
到直线x+2=0，即抛物线的准线x=-2的距离为6-（-2）=8
∴线段AB的中点到直线x+2=0的距离为8．

点评 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．