Question

10．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：
（1）f（x-2）+f（-x）=0； 
（2）f（2-x）=f（x）； 
（3）在（-1，1]上的表达式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）x∈（0，1]\\|lg（x+1）|x∈（-1，0]\end{array}$．
已知函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x∈[0，+∞）}\\{x+1，x∈（-∞，0）}\end{array}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，3]内共有3个解．

Answer 1

分析 由f（x-2）+f（-x）=0，可得函数关于（1，0）对称； f（2-x）=f（x），可得函数的周期为4； 在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象，即可得出结论．

解答 解：由f（x-2）+f（-x）=0，可得函数关于（1，0）对称；
 f（2-x）=f（x），可得函数关于直线x=1对称； 
又f（x-2）=-f（-x）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4．
在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象，如图所示

∴方程f（x）=g（x）在区间[-5，3]内共有3个解．
故答案为：3．

点评 本题考查方程解的个数的确定，考查函数的周期性，对称性，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．