Question

19．设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*）
（1）证明：{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是等比数列；
（2）若a₁=$\frac{3}{2}$，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}×{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=$\frac{\frac{2}{5}×{3}^{n}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=-2，即可证明．
（2）{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是公比为-2，首项为a₁-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比数列．通项公式为a_n=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$×（-2）^n-1，若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，代入解出即可得出．
（3）如果a_n+1＞a_n成立，即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$（{a}_{1}-\frac{3}{5}）×（-2）^{n}$＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1对任意自然数均成立．化简得$\frac{4}{15}×{3}^{n}$＞$-（{a}_{1}-\frac{3}{5}）$×（-2）ⁿ，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}×{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=$\frac{\frac{2}{5}×{3}^{n}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=-2，
∴数列{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是等比数列．
（2）解：{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是公比为-2，首项为a₁-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比数列．
通项公式为a_n=$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$×（-2）^n-1，
若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即$2[\frac{{3}^{n+1}}{5}+\frac{9}{10}×（-2）^{n}]$=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}×（-2）^{n-1}$+$\frac{{3}^{n+2}}{5}+$$\frac{9}{10}×（-2）^{n+1}$，
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差数列．
（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，
即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$（{a}_{1}-\frac{3}{5}）×（-2）^{n}$＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1对任意自然数均成立．
化简得$\frac{4}{15}×{3}^{n}$＞$-（{a}_{1}-\frac{3}{5}）$×（-2）ⁿ，
当n为偶数时${a}_{1}＞\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$，
∵p（n）=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$是递减数列，
∴p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；
当n为奇数时，a₁$＜\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$，
∵q（n）=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$是递增数列，
∴q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的定义与通项公式、数列的单调性、不等式解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．