Question

9．已知函数f（x）=xe^x-mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$
• B． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$
• C． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$
• D． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$

Answer 1

分析 设g（x）=xe^x，y=ax-a，求出g（x）的最小值，结合函数的图象求出m的范围即可．

解答 解：设g（x）=xe^x，y=mx-m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe^x在直线y=mx-m下方，
g′（x）=（x+1）e^x，
g（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
故g（x）_min=g（-1）=-$\frac{1}{e}$，y=mx-m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K_PA≤m＜K_PB，
即$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤m＜$\frac{1}{2e}$，
，
故选：C．

点评 本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．