Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{e^x}$．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：
（2）若对任意x₁，x₂∈[a，+∞），都有f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{1}{e^2}$成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；
（2）对a讨论，若a＜1，若a≥1，讨论f（x₁）-f（x₂）的最值或范围，即可得到所求a的最小值．

解答 解：（1）因为$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$，所以f'（0）=-2，
因为f（0）=1，
所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0…（3分）
由$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值$-\frac{1}{e^2}$	递增

所以函数f（x）在x=2时，取得极小值$-\frac{1}{e^2}$…（6分）
（2）由题设知：当x＞1时，$f（x）=\frac{1-x}{e^x}＜0$，当x＜1时，$f（x）=\frac{1-x}{e^x}＞0$，
若a＜1，令x₁=2，x₂∈[a，1），则x₁，x₂∈[a，+∞），
由于$f（{x_2}）＞0?-f（{x_2}）＜0?f（{x_1}）-f（{x_2}）＜f（{x_1}）=f（2）=-\frac{1}{e^2}$，显然不符合题设要求…（9分）
若a≥1，对?x₁，x₂∈[a，+∞），f（x₁）≤0，f（x₂）≤0，
由于$f（{x_2}）≤0?-f（{x_2}）≥0?f（{x_1}）-f（{x_2}）≥f（{x_1}）≥f（2）=-\frac{1}{e^2}$，
显然，当a≥1，对?x₁，x₂∈[a，+∞），不等式$f（{x_1}）-f（{x_2}）≥-\frac{1}{e^2}$恒成立，
综上可知，a的最小值为1…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算化简能力，属于中档题．