Question

13．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞-2f（x）．若g（x）=x²f（x），则不等式g（2x）＜g（1-x）的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）$
• C． $（{-1，\frac{1}{3}}）$
• D． $（{-∞，-1}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意和乘积的导数可得偶函数g（x）=x²f（x）在R上单调递增，可化原不等式为|2x|＜|1-x，解之可得．

解答 解：由题意可得函数g（x）=x²f（x）为R上的偶函数，
∵xf'（x）＞-2f（x），x²f′（x）+2xf（x）＞0，
∴g′（x）=（x²f（x））′=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴g（x）=x²f（x）在[0，+∞）R上单调递增，
∵不等式g（2x）＜g（1-x），
∴|2x|＜|1-x|，
即（x+1）（3x-1）＜0，
解得-1＜x＜$\frac{1}{3}$
故选：C

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．