Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）展开式中二项式系数和为256．
（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由．
（2）求展开式中系数最小的项．

Answer 1

（1）由题意，二项式系数和为2ⁿ=256，解得n=8，
通项Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r•(-

2

x2

)r=

C

r8

(-2)rx

8-5r

2

，
若T_r+1为常数项，当且仅当

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，这是不可能的，
∴展开式中不含常数项．
若T_r+1为有理项，当且仅当

8-5r

2

∈Z，且0≤r≤8，即r=0，2，4，6，8，
∴展开式中共有5个有理项；
（2）设展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为

C

r-18

•2r-1，

C

r8

•2r，

C

r+18

•

2

r+1

，
若第r+1项的系数绝对值最大，则

C r-18 •2r-1≤ C r8 •2r C r+18 •2r+1≤ C r8 •2r

，解得5≤r≤6，
又∵r∈Z，
∴r=5或6．
∵r=5时，第6项的系数为负，r=6时，第7项的系数为正，
∴系数最小的项为T6=

C

58

(-2)5x-

17

2

=-1792•x-

17

2

．