Question

1．已知x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞b＞0），求$\frac{2\sqrt{ab}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$的值．

Answer 1

分析 根据x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞b＞0），求出x²-1以及x-$\sqrt{{x}^{2}-1}$的值，再代人求值即可．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞b＞0），
∴x²-1=$\frac{1}{4}$（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+2）-1=$\frac{1}{4}$（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$-2）=${[\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}）]}^{2}$，
∴x-$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}$+$\sqrt{\frac{b}{a}}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}$）=$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
∴$\frac{2\sqrt{ab}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}$=2a．

点评 本题考查了有理数指数幂的化简与求值问题，是基础题目．