Question

（2010•宿州三模）已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．
（1）求证：BE∥平面PDC；
（2）求证：AB⊥平面PBD；
（3）求三棱锥B-DEP的体积．

Answer 1

分析：（1）取PD中点F，连EF、CF，证明四边形BCFE为平行四边形，然后证明BE∥平面PDC；
（2）通过计算说明PD⊥AD，利用平面与平面的垂直，证明PD⊥AB，即可证明AB⊥平面PBD；
（3）三棱锥B---DEP的体积，转化为

1

2

VA-PDB，求出S△PBD，即可求出三棱锥的体积．

解答：证明：（1）取PD中点F，连EF、CF，则EF∥AD且EF=

1

2

AD，
由题意四边形BCFE为平行四边形，∴BE∥CF，
∵BE?平面PDC，CF?平面PDC，
∴BE∥平面PDC；          …（4分）
（2）由题意：AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．
∵AD²+PD²=AP²∴PD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，
∴PD⊥AB，又∴BD⊥AB，
∴AB⊥面PBD；                       …（8分）
解：（3）四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．PD=1，DB=2，S△PDB=

1

2

×1×2=1．
VE-PDB=

1

2

VA-PDB=

1

2

×

1

3

S△PBD×AB=

1

2

×

1

3

×1×2=

1

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．