Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.

（1）求证：；

（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标

（1）通过计算，证明A1F⊥C1E．

（2）判断当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求出，然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值．

设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．

（1）因为，，

所以．

所以A1F⊥C1E．

（2）因为，

所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．

因为，

所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．

设平面B1EF的法向量为，

则得

取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．

设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．

因为，所以，于是．

所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．